barisan dan deret

BARISAN DAN DERET

A. PENGERTIAN

            Barisan adalah susunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli. Untuk setiap bilangan asli dapat ditentukan nilai suatu fungsi yang rumusnya ditentukan. Rumus atau aturan itu menentukan jenis barisannya. Setiap titik hasil pemetaan pada fungsi itu disebut suku barisan tersebut. Peta dari bilangan asli n dinamakan suku ke-n yang dalam barisan itu menempati urutan ke-n. Suku ke-n dari barisan dapat ditulis .

Bentuk umum dari sebuah barisan :

Contoh :

a. 2, 6 , 10 , 14 , …..

   Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4”

   Tiga suku berikutnya adalah 18 , 22 dan 26

b. 1 , 2 , 5 , 10 , …..

   Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan gasal berurutan”

   Tiga suku berikutnya adalah 17 , 29 dan 40

c. 1 , 2 , 4 , 8 , ……

   Aturan pembentukannya adalah “dikalikan 2”

   Tiga suku berikutnya adalah 16 , 32 dan 64

d. 81 , 27 , 9 , 3 , …..

   Aturan pembentukannya adalah “dibagi 3”

   Tiga suku berikutnya adalah 1 ,   dan

            Deret adalah penjumlahan dari suku-suku barisan dari suku pertama sampai suku ke-n, yaitu : 

Contoh :

a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …..

b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..

c. 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + …..

d. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …..

e. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ….

B. BARISAN            

            Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan dengan aturan ditambah bilangan yang sama dapat dilihat pada contoh berikut :

a. 5 , 8 , 11 , 14 , ……

   5 = 3 x 1 + 2

   8 = 3 x 2 + 2

   11 = 3 x 3 + 2

   Jadi = 3 x n + 2 = 3n + 2

b. 2 , 8 , 14 , 20 , …….

   2 = 6 x 1 - 4

   8 = 6 x 2 - 4

   14 = 6 x 3 - 4

   Jadi = 6 x n - 4 = 6n – 4

            Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan dengan aturan dikali atau dipangkatkan dapat dilihat pada contoh berikut :

a. 2 , 4 , 8 , 16 , ……

  

  

    

   Jadi

b. 4 , 9 , 16 , 25 , …….

  

  

  

   Jadi

C. DERET

            Barisan dinyatakan dengan  dan deret yang bersesuaian dinyatakan dengan Pada suatu deret, jika selisih dua suku yang berurutan sama atau tetap, yaitu   maka deret tersebut disebut deret aritmetika atau deret hitung. Selisih yang sama ini disebut beda.

Contoh :

a. 5 + 7 + 9 + 11 + …..    merupakan deret aritmetika dengan beda = 3

b. 3 + 1 + (-1) + (-3) ….  merupakan deret aritmetika dengan beda = -2

           

            Untuk menentukan suku ke-n dari deret aritmetika

dengan beda = b dapat ditentukan sebagai berikut :

……………..

 Sehingga diperoleh    dengan n banyak suku

Contoh :

Diketahui deret aritmetika 8 + 4 + 0 + (-4) + (-8) + ….

Tentukan suku ke-15 ?

  dan    sehingga

 sehingga

           

            Untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika yang dinyatakan dengan  dapat ditentukan sebagai berikut :

______________________________________________________________  +

Sehingga 

Contoh :

Tentukan jumlah 35 suku pertama dari deret aritmetika 207 + 204 + 201 + 198 + …..

n = 35  dan b = 204 – 207 = -3

            Suatu deret yang mempunyai perbandingan dari dua suku yang berurutan  tetap, yaitu  maka deret tersebut disebut deret geometri atau deret ukur. Perbandingan yang tetap ini disebut rasio.

Contoh :

a.  3 + 9 + 27 + 81 + …….        merupakan deret geometri dengan rasio = 3

b.                 merupakan deret geometri dengan rasio =

            Untuk menentukan suku ke-n dari deret geometri

dengan rasio = r  dapat ditentukan sebagai berikut :

             

……………….

Sehingga diperoleh    dengan n banyak suku

Contoh :

Diketahui deret geometri 81 + 27 + 9 + 3 + ….

Tentukan suku ke-6 ?

  dan     sehingga  

   sehingga  

           

            Untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri yang dinyatakan dengan  dapat ditentukan sebagai berikut :

  ………..(1)

  …………………………………………(2)

Jika persamaan (2)  dikurangi persamaan(1) akan diperoleh

  atau    sehingga

Jika persamaan (1)  dikurangi persamaan(2) akan diperoleh

  atau    sehingga

Contoh :

Tentukan jumlah deret geometri 27 + 9 + 3 + …..+  !

  dan    dan     sehingga  

  sehingga        atau    

   sehingga nilai n – 1 = 7   atau  n = 8

D. Latihan

1. Jika  adalah jumlah  suku pertama suatu deret aritmetika maka suku ke sepuluh deret tersebut adalah ....
2. Diketahui  membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmetika maka suku ke tiga harus ditambah dengan ....
3. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40 maka sisi siku-siku yang terpendek sama dengan ......
4. Antara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan, sehinga bersama kedua bilangan tersebut terjadi deret aritmetika. Maka jumlah deret aritmetika yang terjadi adalah ..........
5. Jika dari suatu deret geometri diketahui  dan  maka
6. Pada sebuah kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar pada bulan ke 2 dan murid baru yang mendaftar pada bulan ke 4 berjumlah 20 orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke 5 dan ke 6 berjumlah 40 orang.  Jumlah semua murid kursus tersebut dalam 10 bulan pertama adalah .......
7. Jumlah 10 suku pertama dari deret  adalah ....
8. Akar-akar dari  adalah  dan  yang semuanya positip serta . Agar  ,  dan  berturut-turut suku pertama, suku kedua dan suku ketiga dari deret aritmetika maka nilai
9. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Jika tali terpendek adalah 4 cm dan tali terpanjang adalah 108 cm maka panjang tali semula ........
10. Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 adalah ...
11. Hasil kali suku ke dua dan suku ke empat dari suatu barisan geometri yang semua suku-sukunya positip adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama adalah 7 maka suku pertamanya adalah .......
12. Jika jumlah tak hingga deret  adalah  maka nilai
13. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke 1, ke 2 dan ke 6 merupakan barisan geometri. Jumlah ketiga suku tersebut adalah 42. Maka beda barisan aritmetika tersebut adalah .....
14. Jika suku pertama barisan geometri , suku keempat  dan suku kesepuluh   maka nilai
15. Jumlah suatu deret geometri tak hingga sama dengan dua kali suku pertamanya dan jumlah empat suku awalnya adalah . Maka jumlah deret tersebut adalah .....
16. Suku-suku suatu barisan geometri tak hingga adalah positip. Jumlah suku dan . Jumlah tak hingga deret tersebut ....
17. Jumlah  suku pertama suatu deret adalah . Jumlah suku ke 5, 6,7 dan 8 adalah .....
18.  adalah suku ke  dari suatu deret aritmetika. Jika suku pertama deret itu 100 dan  untuk setiap  maka jumlah semua suku deret itu yang bernilai positip adalah .....
19.  adalah jumlah  suku pertama deret aritmetika. Jika  dan  adalah suku pertama deret tersebut maka beda deret aritmetika tersebut adalah ....
20. Diketahui deret geometri  Jika  dan  maka nilai